Tažením otáčíte, kolečkem nebo dvěma prsty přibližujete. Klepněte na výsledek a uvidíte ho na modelu.

Pravidelný n-boký jehlan: objem a povrch se vzorci krok za krokem

Rozměry

    Jak vypočítat objem a povrch pravidelného n-bokého jehlanu

    Podstava je pravidelný n-úhelník a z ní stoupá n trojúhelníků do jednoho vrcholu. Objem je vždy třetina součinu obsahu podstavy a výšky. Každá boční stěna je trojúhelník se základnou a a výškou h_s, kterou dá Pythagoras z výšky a apotémy podstavy ρ. S mnoha stranami se jehlan mění v kužel.

    Vzorce

    Poloměr kružnice vepsané podstavě
    ρ = a/(2tan(π / n))
    Poloměr kružnice opsané podstavě
    R_b = a/(2sin(π / n))
    Obsah podstavy
    S_b = (n a ρ)/2
    Stěnová výška
    h_s = √(h² + ρ²)
    Boční hrana
    e = √(h² + R_b²)
    Obsah pláště
    S_l = (n a h_s)/2
    Povrch
    S = S_b + S_l
    Objem
    V = 1/3 S_b h
    Vrcholy
    N_V = n + 1
    Hrany
    N_E = 2n
    Stěny
    N_F = n + 1

    Řešený příklad

    Zadání: počet stran podstavy n = 6, podstavná hrana a = 2,5 cm, výška h = 5 cm.

    1. Poloměr kružnice vepsané podstavěρ = 2,5/(2 · tan(π/6)) = 2,1651 cm
    2. Poloměr kružnice opsané podstavěR_b = 2,5/(2 · sin(π/6)) = 2,5 cm
    3. Obsah podstavyS_b = (6 · 2,5 · 2,1651)/2 = 16,238 cm²
    4. Stěnová výškah_s = √(5² + 2,1651²) = 5,4486 cm
    5. Boční hranae = √(5² + 2,5²) = 5,5902 cm
    6. Obsah pláštěS_l = (6 · 2,5 · 5,4486)/2 = 40,8647 cm²
    7. PovrchS = 16,238 + 40,8647 = 57,1027 cm²
    8. ObjemV = (16,238 · 5)/3 = 27,0633 cm³= 0,0271 l
    9. VrcholyN_V = 6 + 1 = 7
    10. HranyN_E = 2 · 6 = 12
    11. StěnyN_F = 6 + 1 = 7

    Časté otázky

    Jak se vypočítá objem pravidelného n-bokého jehlanu?

    Podle vzorce V = 1/3 S_b h. Například pro n = 6, a = 2,5 cm a h = 5 cm vyjde V = 27,0633 cm³.

    Jak se vypočítá povrch pravidelného n-bokého jehlanu?

    Podle vzorce S = S_b + S_l. Například pro n = 6, a = 2,5 cm a h = 5 cm vyjde S = 57,1027 cm².

    Jak zjistím podstavnou hranu, když znám objem?

    Na kartě „Dopočítat“ zvolte v poli „Znám“ objem, napište hodnotu a v poli „Hledám“ vyberte podstavnou hranu. Ostatní rozměry zůstanou, jak jsou. Například pro n = 6 a h = 5 cm a V = 68 cm³ vyjde a = 3,9628 cm.

    Podobné tvary

    Všech 37 tvarů a jejich hlavní vzorce

    Každý má vlastní model, rozměry, které můžete měnit, a vzorec za každým číslem. Vyberte ho a otevře se v dílně.

    Jak dílna funguje

    Změňte rozměr, všechno se přepočítá

    Posuňte jezdec nebo zadejte přesnou hodnotu. Model, všechny výsledky i rozepsané vzorce se změní najednou a mřížka pod modelem má jednu jednotku na čtverec.

    Podívejte se, co číslo znamená

    Klepněte na výsledek a model ho ukáže: voda naplní objem, barva natře povrch nebo obsah, tečka obejde obvod, vrcholy a hrany se spočítají jeden po druhém.

    Počítejte pozpátku

    Znáte obsah a potřebujete poloměr? Dopočítat najde rozměr, který dá zadanou hodnotu, a ukáže pro něj všechny ostatní výsledky.

    Jedny vzorce všude

    Každý vzorec je zapsaný jen jednou a počítá ho stejný výpočet na této stránce i na API; test hlídá, že obě místa dávají stejná čísla.

    Otázky

    Můžu počítat pozpátku z obsahu nebo objemu?

    Ano. Otevřete Dopočítat, vyberte, co znáte, zadejte hodnotu a zvolte rozměr, který hledáte. Dílna najde rozměr, který dá přesně tuto hodnotu, a ukáže pro něj všechny ostatní výsledky. Například kruh s obsahem 200 cm² má poloměr 7,9788 cm a obvod 50,1326 cm.

    Jak přesné jsou výsledky?

    Každý vzorec je přesný a počítá se ve dvojité přesnosti, pak se zaokrouhlí na zvolený počet desetinných míst. Dvě hodnoty nemají přesný elementární vzorec a jsou označené jako přibližné: obvod elipsy (Ramanujan) a povrch elipsoidu (Knud Thomsen, odchylka do 1,07 %).

    Jaké jednotky můžu použít?

    Milimetry, centimetry, decimetry, metry, kilometry, palce, stopy a yardy. Obsahy a objemy se řídí délkovou jednotkou (cm², cm³) a každý objem je uvedený i v litrech.

    Je k dispozici API?

    Ano. Stejný výpočet odpovídá na https://techtools.cz/geometry-lab-api/ bez klíče: seznam tvarů, výpočet libovolného z nich, výpočet pozpátku i vyhodnocení výrazu. Dokumentace je na https://techtools.cz/geometry-lab-api/docs.

    Pro vývojáře a AI agenty

    Veřejný JSON, bez klíče a bez přihlášení. Každá odpověď nese vzorec, dosazení i hodnotu.

    curl 'https://techtools.cz/geometry-lab-api/compute?shape=cone&r=3&h=4&unit=cm'
curl 'https://techtools.cz/geometry-lab-api/solve?shape=circle&given=A&value=200&unknown=r'
curl 'https://techtools.cz/geometry-lab-api/calc?expr=2pi*r^2&vars%5Br%5D=3'
curl 'https://techtools.cz/geometry-lab-api/shapes'