Tažením otáčíte, kolečkem nebo dvěma prsty přibližujete. Klepněte na výsledek a uvidíte ho na modelu.

Pravidelný dvanáctistěn: objem a povrch se vzorci krok za krokem

Rozměry

    Jak vypočítat objem a povrch pravidelného dvanáctistěnu

    Dvanáct pravidelných pětiúhelníků, tři v každém vrcholu. V každém rozměru se skrývá zlatý řez φ = (1 + √5)/2, proto se ve všech vzorcích objevuje √5. Má tvar dvanáctistěnné kostky a Platón jej spojoval se samotným vesmírem.

    Vzorce

    Objem
    V = (15 + 7√5)/4 a³
    Povrch
    S = 3√(25 + 10√5) a²
    Součet délek hran
    Σ_e = 30a
    Poloměr koule vepsané
    r = a/2 √((25 + 11√5)/10)
    Poloměr koule opsané
    R = (a√3 (1 + √5))/4
    Úhel sousedních stěn
    δ = arccos(-(√5)/5)
    Vrcholy
    N_V = 20
    Hrany
    N_E = 30
    Stěny
    N_F = 12
    Euler: V − H + S
    N_V - N_E + N_F = 2

    Řešený příklad

    Zadání: hrana a = 2 cm.

    1. ObjemV = (15 + 7 · √5)/4 · 2³ = 61,305 cm³= 0,0613 l
    2. PovrchS = 3 · √(25 + 10 · √5) · 2² = 82,5829 cm²
    3. Součet délek hranΣ_e = 30 · 2 = 60 cm
    4. Poloměr koule vepsanér = 2/2 · √((25 + 11 · √5)/10) = 2,227 cm
    5. Poloměr koule opsanéR = (2 · √3 · (1 + √5))/4 = 2,8025 cm
    6. Úhel sousedních stěnδ = arccos((-√5)/5) = 116,5651°
    7. VrcholyN_V = 20
    8. HranyN_E = 30
    9. StěnyN_F = 12
    10. Euler: V − H + Schi = 20 - 30 + 12 = 2

    Časté otázky

    Jak se vypočítá objem pravidelného dvanáctistěnu?

    Podle vzorce V = (15 + 7√5)/4 a³. Například pro a = 2 cm vyjde V = 61,305 cm³.

    Jak se vypočítá povrch pravidelného dvanáctistěnu?

    Podle vzorce S = 3√(25 + 10√5) a². Například pro a = 2 cm vyjde S = 82,5829 cm².

    Jak zjistím hranu, když znám objem?

    Na kartě „Dopočítat“ zvolte v poli „Znám“ objem, napište hodnotu a v poli „Hledám“ vyberte hranu. Ostatní rozměry zůstanou, jak jsou. Například pro V = 150 cm³ vyjde a = 2,695 cm.

    Podobné tvary

    Všech 37 tvarů a jejich hlavní vzorce

    Každý má vlastní model, rozměry, které můžete měnit, a vzorec za každým číslem. Vyberte ho a otevře se v dílně.

    Jak dílna funguje

    Změňte rozměr, všechno se přepočítá

    Posuňte jezdec nebo zadejte přesnou hodnotu. Model, všechny výsledky i rozepsané vzorce se změní najednou a mřížka pod modelem má jednu jednotku na čtverec.

    Podívejte se, co číslo znamená

    Klepněte na výsledek a model ho ukáže: voda naplní objem, barva natře povrch nebo obsah, tečka obejde obvod, vrcholy a hrany se spočítají jeden po druhém.

    Počítejte pozpátku

    Znáte obsah a potřebujete poloměr? Dopočítat najde rozměr, který dá zadanou hodnotu, a ukáže pro něj všechny ostatní výsledky.

    Jedny vzorce všude

    Každý vzorec je zapsaný jen jednou a počítá ho stejný výpočet na této stránce i na API; test hlídá, že obě místa dávají stejná čísla.

    Otázky

    Můžu počítat pozpátku z obsahu nebo objemu?

    Ano. Otevřete Dopočítat, vyberte, co znáte, zadejte hodnotu a zvolte rozměr, který hledáte. Dílna najde rozměr, který dá přesně tuto hodnotu, a ukáže pro něj všechny ostatní výsledky. Například kruh s obsahem 200 cm² má poloměr 7,9788 cm a obvod 50,1326 cm.

    Jak přesné jsou výsledky?

    Každý vzorec je přesný a počítá se ve dvojité přesnosti, pak se zaokrouhlí na zvolený počet desetinných míst. Dvě hodnoty nemají přesný elementární vzorec a jsou označené jako přibližné: obvod elipsy (Ramanujan) a povrch elipsoidu (Knud Thomsen, odchylka do 1,07 %).

    Jaké jednotky můžu použít?

    Milimetry, centimetry, decimetry, metry, kilometry, palce, stopy a yardy. Obsahy a objemy se řídí délkovou jednotkou (cm², cm³) a každý objem je uvedený i v litrech.

    Je k dispozici API?

    Ano. Stejný výpočet odpovídá na https://techtools.cz/geometry-lab-api/ bez klíče: seznam tvarů, výpočet libovolného z nich, výpočet pozpátku i vyhodnocení výrazu. Dokumentace je na https://techtools.cz/geometry-lab-api/docs.

    Pro vývojáře a AI agenty

    Veřejný JSON, bez klíče a bez přihlášení. Každá odpověď nese vzorec, dosazení i hodnotu.

    curl 'https://techtools.cz/geometry-lab-api/compute?shape=cone&r=3&h=4&unit=cm'
curl 'https://techtools.cz/geometry-lab-api/solve?shape=circle&given=A&value=200&unknown=r'
curl 'https://techtools.cz/geometry-lab-api/calc?expr=2pi*r^2&vars%5Br%5D=3'
curl 'https://techtools.cz/geometry-lab-api/shapes'